化工過程多回路PID控制系統(tǒng)模式切換參數(shù)自整定

引言

化工過程一般為多變量系統(tǒng)，即存在著多個被控變量和多個操縱變量。隨著各種化工過程先進工藝的快速發(fā)展，越來越多的生產(chǎn)過程被構造成多變量控制系統(tǒng)[1]。與單變量系統(tǒng)相比，多變量系統(tǒng)輸入變量和輸出變量之間一般存在一定程度的耦合，這就為多變量系統(tǒng)的控制器設計帶來了不小的困難。對于多變量系統(tǒng)，設計一個包含所有被控變量和操縱變量的集中控制系統(tǒng)是最為理想的，但是這樣的控制設計方案復雜，難以實現(xiàn)，不易維護，可靠性差。因此，考慮到底層控制系統(tǒng)安全可靠的要求，工業(yè)現(xiàn)場的底層控制系統(tǒng)仍然主要采用常規(guī)分散PID控制[2-3]，即將多變量系統(tǒng)分解為多個單變量子系統(tǒng)，分別設計PID控制回路，組成分散的多回路PID控制系統(tǒng)。分散多回路PID控制因其結構簡單、設計和整定的簡便性以及良好的魯棒性等優(yōu)點，從而在工業(yè)過程控制領域占有較大的比重。

在進行多回路PID控制系統(tǒng)設計時，首先確定操縱變量和被控變量的控制回路配對，然后將各PID控制回路視為單變量系統(tǒng)，整定PID控制參數(shù)，多回路PID控制系統(tǒng)設計應考慮多變量系統(tǒng)的操縱變量和被控變量之間存在的相互耦合作用[4]，控制系統(tǒng)設計應使控制回路間的耦合作用盡可能小。Bristol[5]提出了相對增益陣(relative gain array, RGA)，Wang等[6]將其推廣到高維系統(tǒng)。在RGA中應當盡可能選擇大于零且接近于1的元素對應的輸入輸出配對，即可保證控制回路之間的耦合最小化。為保證閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性，Niederlinski[7]提出了尼德林斯基指數(shù)(Niederlinski index, NI)，與RGA配合使用，篩選不合適的控制回路配對。由于RGA只是利用系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)信息，忽略了系統(tǒng)的動態(tài)特性，因此在其基礎上提出了各種基于動態(tài)信息的改進方法。RGA的動態(tài)改進方法大體可以分為：基于開環(huán)階躍響應的時域RGA[8-9]、基于頻率特性的頻域RGA[10-11]、基于最優(yōu)閉環(huán)控制器的動態(tài)RGA[12-13]、穩(wěn)態(tài)信息與動態(tài)信息結合的組合RGA[14-17]。雖然RGA及其改進方法在一定程度上解決了常規(guī)控制系統(tǒng)結構設計問題，但是控制系統(tǒng)性能還與控制器參數(shù)有關。由于系統(tǒng)內(nèi)部耦合作用的存在，其他回路的控制器參數(shù)必定對本回路的等效被控對象產(chǎn)生影響[18]。在實際工業(yè)現(xiàn)場，由于種種工藝需求，操作人員往往需要對控制回路進行手動/自動切換。當其他回路開環(huán)/閉環(huán)切換時，本回路的等效被控對象必然發(fā)生變化，本回路的PID控制器參數(shù)應當進行相應的調(diào)整以適應本回路被控對象動態(tài)特性的變化，才能保證穩(wěn)定性并維持一定的控制性能。

本文將利用現(xiàn)代頻域法，從多變量系統(tǒng)對角優(yōu)勢下正Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)的角度考慮，進行控制回路模式切換時的控制器參數(shù)校正工作。目前現(xiàn)代頻域法的控制系統(tǒng)設計從單變量系統(tǒng)推廣到了多變量系統(tǒng)[19-20]。Nyquist陣列設計法是現(xiàn)代多變量頻域設計法中最成熟的一種方法。Rosenbrock等[21-23]論述了Nyquist陣列設計法的基本思想，為后續(xù)研究提供了基本研究方法。在此基礎上，McMorran[24-25]提出了逆Nyquist陣列設計的擴展方法。Ho等[26]和Chen等[27]提出了正Nyquist陣列設計方法。Nyquist陣列設計法往往與Gershgorin帶結合使用，Gershgorin帶可以同時判斷控制系統(tǒng)的對角優(yōu)勢和閉環(huán)穩(wěn)定性，Chen等[28]利用Gershgorin帶定理對多變量系統(tǒng)完成了PID控制器參數(shù)設計。

常規(guī)PID控制的整定算法一般只是針對單變量系統(tǒng)。Luyben[29]提出了著名的BLT方法，即利用Z-N規(guī)則來調(diào)整PID參數(shù)，Ho等[30]提出了基于增益和相角裕量的設計方法。多變量分散PID控制中控制回路模式切換時控制器參數(shù)的校正問題尚無研究。

本文基于對角優(yōu)勢下正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，從Gershgorin圓邊界點的角度分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，根據(jù)閉環(huán)穩(wěn)定性進一步確定控制器增益的調(diào)整方向及程度，以保證控制回路在切換前后的閉環(huán)穩(wěn)定性。

1 控制回路模式切換問題

對于一個存在內(nèi)部耦合的多變量化工過程，考慮到化工過程多回路PID控制系統(tǒng)模式切換時對實時性和實際工業(yè)現(xiàn)場操作人員對可操作性的要求，本文采用了工業(yè)過程控制中常用的一階慣性純滯后的傳遞函數(shù)矩陣 G (s)形式，如式(1)所示。

G(s)=???????g11(s)g21(s)?gn1(s)g12(s)g22(s)?gn2(s)????g1n(s)g2n(s)?gnn(s)???????$G\left(s\right)=\left(\begin{array}{cccc}{g}_{11}\left(s\right)& g_{12}\left(s\right)& ?& g_{1n}\left(s\right)\\ g_{21}\left(s\right)& g_{22}\left(s\right)& ?& g_{2n}\left(s\right)\\ ?& ?& ?& ?\\ g_{n1}\left(s\right)& g_{n2}\left(s\right)& ?& g_{nn}\left(s\right)\end{array}\right)$(1)

其中

gij(s)=kije?τijsTijs+1(i, j=1, 2, 3, ?, n)$\begin{array}{cc}{g}_{ij}\left(s\right)=\frac{k_{ij}{e}^{-{\tau }_{ij}s}}{T_{ij}s+1}& (i,j=1,2,3,?,n)\end{array}$

式中，s為復變量。

式(1)為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)點附近的線性化模型，具有形式簡單、適用性強、易于獲取的特點，并且在定值控制系統(tǒng)中各變量都不會偏離穩(wěn)態(tài)點太遠，因此精度也能滿足控制系統(tǒng)設計要求。

工業(yè)現(xiàn)場經(jīng)驗豐富的工藝人員很容易獲取這種一階慣性純滯后模型，他們一般都能知曉各輸入變量對各輸出變量的靜態(tài)增益k，以及當輸入變量發(fā)生變化后輸出變量多長時間才能變化和多長時間到達穩(wěn)定狀態(tài)，分別對應純滯后時間τ和動態(tài)響應時間ts，由此可以計算得到時間常數(shù)T（動態(tài)響應時間ts減掉純滯后時間τ后再除以3或4）。

對于由式(1)表示的化工過程，其控制方式可以分為兩種：集中控制和分散控制。

集中控制采用單個控制器，變量之間僅一種配對方式，其控制效果較好，但直接設計集中控制器的難度較大。一般設計單個解耦器和多個控制器作為集中控制器[31]，變量之間采用對角配對方式，控制效果與解耦效果相關，其控制結構如圖1所示。

圖1

圖1   多變量解耦控制

Fig.1   Multivariable decoupling control

分散控制采用多個單變量控制器，變量配對方式有多種，控制效果稍差，但其結構簡單、設計難度小、易于維護以及具有良好的魯棒性能等，因此應用比較廣泛[32-33]，其控制結構如圖2所示。

圖2

圖2   多變量分散控制

Fig.2   Multivariate decentralized control

本文所研究的控制系統(tǒng)為分散PID控制系統(tǒng)。下面以雙輸入雙輸出的2×2$2\times 2$被控過程為例，分析控制回路模式切換時系統(tǒng)的耦合問題對控制回路的閉環(huán)影響。例如，精餾塔就是典型的2×2$2\times 2$系統(tǒng)，塔頂冷回流量和塔底再沸蒸汽量就是兩個操縱變量，塔頂溫度和塔釜溫度為兩個被控變量，操縱變量和被控變量之間存在比較嚴重的耦合。眾所周知，當采用常規(guī)PID控制器時，塔頂溫度和塔底溫度是很難同時進行控制的，當塔頂溫度與冷回流量組成控制回路時，塔底溫度就不能作為被控變量了。具體原因如下。

假設2×2$2\times 2$系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣為

G(s)=[g11(s)g21(s)g12(s)g22(s)]$G\left(s\right)=\left(\begin{array}{cc}{g}_{11}\left(s\right)& g_{12}\left(s\right)\\ g_{21}\left(s\right)& g_{22}\left(s\right)\end{array}\right)$(2)

當僅第一個控制回路投入自動模式，如圖3所示，此時u2不發(fā)生變化，此時

y1(s)=g11(s)u1(s)$y_1\left(s\right)=g_{11}\left(s\right)u_1\left(s\right)$(3)

圖3

圖3   僅第一個控制回路閉合時系統(tǒng)結構

Fig.3   Block diagram of the system structure when only the first control loop is closed

u1對y1控制回路的等效被控對象的傳遞函數(shù)為g11(s)。

當?shù)诙€控制回路也投入自動模式(圖4)，由于系統(tǒng)內(nèi)部的耦合作用，輸入u1除了通過g11(s)影響輸出y1，還通過g21(s)影響輸出y2，輸出y2通過閉環(huán)的第二個控制回路影響輸入u2，輸入u2通過g12(s)影響輸出y1，此時

圖4

圖4   第二個控制回路閉合時系統(tǒng)結構

Fig.4   Block diagram of system structure when the second control loop is closed

y1(s)=[g11(s)?g12(s)(c?12(s)+g22(s))?1g21(s)]u1(s)$y_1\left(s\right)=\left(g_{11}\left(s\right)-g_{12}\left(s\right){\left(c_2^{-1}\left(s\right)+g_{22}\left(s\right)\right)}^{-1}{g}_{21}\left(s\right)\right)u_1\left(s\right)$(4)

u1對y1控制回路的等效被控對象的傳遞函數(shù)中除了第二個控制回路開環(huán)時的等效傳遞函數(shù)g11(s)，還包含了輸入u1、u2和輸出y1、y2之間的相互耦合影響g12(s)、g21(s)，第二個控制回路的開環(huán)被控對象g22(s)和控制器c2(s)。y1和u1之間的開環(huán)傳遞函數(shù)可用虛線框中部分來表示。因此，由于系統(tǒng)內(nèi)部耦合的影響，當其他回路進行手動/自動模式切換時，本回路的等效被控對象會發(fā)生較大的變化，原有的控制器參數(shù)如果不進行及時的調(diào)整，控制性能會下降，甚至會造成整個系統(tǒng)的不穩(wěn)定。隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大，其耦合程度也將加劇，每增加一個控制回路，將會對更多已設計完成的控制回路產(chǎn)生影響，已設計好的控制器大概率上無法維持控制回路模式切換后整個控制系統(tǒng)的性能。

2 全局Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

對于多變量系統(tǒng)的多回路分散常規(guī)控制系統(tǒng)，由于各控制回路之間存在相互影響，控制系統(tǒng)不能僅考慮各個局部的控制回路的穩(wěn)定性，而應從整個系統(tǒng)的角度研究控制回路模式切換時的穩(wěn)定性。下面基于對角優(yōu)勢下正Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)，從Gershgorin圓邊界點出發(fā)定量分析各個控制回路在模式切換前后的穩(wěn)定性變化程度的方法。

2.1 對角優(yōu)勢

若 G (s)在包圍右半s平面的初等D形圍線上滿足以下關系

|gii(s)|>∑j=1i≠jn∣∣gij(s)∣∣(i=1, 2, 3, ?, n)$\left(g_{ii}\left(s\right)\right)>\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ i\ne j\end{array}}^n\left(g_{ij}\left(s\right)\right)\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(5)

則稱 G (s)具有行對角優(yōu)勢。

若 G (s)在包圍右半s平面的初等D形圍線上滿足以下關系

|gii(s)|>∑j=1i≠jn∣∣gji(s)∣∣(i=1, 2, 3, ?, n)$\left(g_{ii}\left(s\right)\right)>\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ i\ne j\end{array}}^n\left(g_{ji}\left(s\right)\right)\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(6)

則稱 G (s)具有列對角優(yōu)勢。

G (s)滿足行對角優(yōu)勢或列對角優(yōu)勢都稱其具有對角優(yōu)勢。

2.2 Gershgorin圓

對于傳遞函數(shù)矩陣 G (s)，以其對角元素gii (s)在復平面s上的對應點為圓心，以其第i行的行非對角元素模之和di 為半徑作圓，此圓稱為第i行Gershgorin圓。以其第i列的列非對角元素模之和d'i${}_i^{\text{'}}$為半徑作圓，此圓稱為第i列Gershgorin圓。對于n階傳遞函數(shù)矩陣，其具有n個行Gershgorin圓和n個列Gershgorin圓。

行Gershgorin圓的表達式為

|s?gii|=di(i=1, 2, 3, ?, n)$\left(s-g_{ii}\right)=d_i\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(7)

列Gershgorin圓的表達式為

|s?gii|=d'i(i=1, 2, 3, ?, n)$\left(s-g_{ii}\right)=d_i^{\text{'}}\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(8)

隨著s的變化，這些圓掃出n個帶狀區(qū)域，稱為行(或列)Gershgorin帶。

2.3 多變量系統(tǒng)正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

多變量控制系統(tǒng)的一般結構如圖5所示。

圖5

圖5   系統(tǒng)的控制結構

Fig.5   System control chart

圖中， r、e、y 分別為被控變量給定值、控制偏差和系統(tǒng)輸出； G (s)為被控過程傳遞函數(shù)矩陣；對于多回路PID控制器， C (s)為對角矩陣形式的控制器； F 為反饋系數(shù)矩陣，為滿秩常數(shù)對角矩陣。

C(s)=???????c1(s)0c2(s)?0?cn(s)???????$C\left(s\right)=\left(\begin{array}{cccc}{c}_1\left(s\right)& & & 0\\ & c_2\left(s\right)& & \\ & & ?& ?\\ 0& & & c_n\left(s\right)\end{array}\right)$(9)F=???????f10f2?0?fn???????$F=\left(\begin{array}{cccc}{f}_1& & & 0\\ & f_2& & \\ & & ?& ?\\ 0& & & f_n\end{array}\right)$(10)

令 Q (s)為前向通道傳遞函數(shù)矩陣Q(s)=G(s)C(s)=[qij(s)]n×n$Q\left(s\right)=G\left(s\right)C\left(s\right)={\left(q_{ij}\left(s\right)\right)}_{n\times n}$，由于基于RGA方法進行控制回路配對后 G (s)一般為對角優(yōu)勢矩陣， C (s)為對角矩陣，因此 Q (s)大概率為對角優(yōu)勢矩陣。

基于開環(huán)對角優(yōu)勢系統(tǒng) Q (s)，結合Gershgorin圓的概念，多變量系統(tǒng)的正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)如下。

(1)諸qii (s)的行Gershgorin帶或列Gershgorin帶不包含對應的臨界點(?f?1i, j0)$(-f_i^{-1},j0)$在內(nèi)。

(2)諸qii (s)的行Gershgorin帶或列Gershgorin帶關于臨界點(?f?1i, j0)$(-f_i^{-1},j0)$的逆時針圍繞周數(shù)之和等于 Q (s)的開環(huán)特征多項式在右半s平面的零點個數(shù)no$n_o$，即

∑i=1n[enc(?f?1i, j0)qii(s)]=no$\sum _{i=1}^n\left(en{c}_{(-f_i^{-1},j0)}{q}_{ii}\left(s\right)\right)=n_o$(11)

式中，enc(?f?1i, j0)qii(s)$en{c}_{(-f_i^{-1},j0)}{q}_{ii}\left(s\right)$表示第i行或第i列的Gershgorin帶逆時針圍繞(?f?1i, j0)$(-f_i^{-1},j0)$的周數(shù)。

如果 Q (s)為開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，即 Q (s)的開環(huán)特征多項式在右半s平面的零點個數(shù)為零，并且反饋系數(shù)矩陣 F 為單位陣，則穩(wěn)定判據(jù)(2)改為：諸qii (s)的行Gershgorin帶或列Gershgorin帶不繞過臨界點(?1, j0)$(-1,j0)$。

上述對角優(yōu)勢下正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)中，(1)為對角優(yōu)勢判據(jù)，判斷 Q (s)是否對角優(yōu)勢；(2)為穩(wěn)定性判據(jù)，判斷 Q (s)滿足對角優(yōu)勢條件下是否穩(wěn)定。該判據(jù)為一充分性判據(jù)。當系統(tǒng)滿足上述判據(jù)時，一定為穩(wěn)定系統(tǒng)；當某一系統(tǒng)不滿足對角優(yōu)勢時，也可能為一穩(wěn)定系統(tǒng)。該判據(jù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性的邏輯關系可用Venn圖表示(圖6)。

圖6

圖6   正Nyquist判據(jù)與穩(wěn)定性之間的Venn圖

Fig.6   The Venn diagram between direct Nyquist criterion and system stability

3 控制回路模式切換時控制器參數(shù)校正方案

基于對角優(yōu)勢下的正Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)，當開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，行Gershgorin帶或列Gershgorin帶在實軸上的邊界點將成為閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的關鍵。根據(jù)各控制回路在模式切換前后各Gershgorin帶邊界點的變化程度，可確定各回路控制器增益的調(diào)整方向及程度，進而實現(xiàn)各回路的控制器參數(shù)在控制回路模式切換瞬間的自動整定。

3.1 一階慣性純滯后多變量系統(tǒng)的Gershgorin圓邊界點

如果被控過程傳遞函數(shù)矩陣 G (s)的各元素gij (s)均為一階慣性純滯后系統(tǒng)，控制器傳遞函數(shù)對角矩陣 C (s)的各元素ci (s)均為PID控制器，反饋系數(shù)矩陣 F 一般為單位陣，即

gij(s)=kije?τijsTijs+1(i, j=1, 2, 3,?, n)$\begin{array}{cc}{g}_{ij}\left(s\right)=\frac{k_{ij}{e}^{-{\tau }_{ij}s}}{T_{ij}s+1}& (i,j=1,2,3,?,n)\end{array}$(12)ci(s)=KPi+KIis+KDis(i=1, 2, 3,?, n)$\begin{array}{cc}{c}_i\left(s\right)=K_{P_i}+\frac{K_{I_i}}{s}+K_{D_i}s& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(13)

令s=jω，可以得到其頻域表達式為

gij(jω)=kije?τij?jωTij?jω+1=kij1+Tij2ω2√?∠?arctg(Tijω)?τijω$g_{ij}\left(j\omega \right)=\frac{k_{ij}{e}^{-{\tau }_{ij}?j\omega }}{T_{ij}?j\omega +1}=\frac{k_{ij}}{\sqrt[]{1+{T_{ij}}^2{\omega }^2}}?\angle -arctg\left(T_{ij}\omega \right)-{\tau }_{ij}\omega$(14)ci(jω)=KPi+KIijω+KDi?jω=KPi2+(KDiω?KIiω)2??????????????????√?∠arctgKDiω?KIiωKPi$\begin{array}{c}{c}_i\left(j\omega \right)=K_{P_i}+\frac{K_{I_i}}{j\omega }+K_{D_i}?j\omega =\\ \sqrt[]{{K_{P_i}}^2+{\left(K_{D_i}\omega -\frac{K_{I_i}}{\omega }\right)}^2}?\angle arctg\frac{K_{D_i}\omega -\frac{K_{I_i}}{\omega }}{K_{P_i}}\end{array}$(15)

進一步可以得到前向通道傳遞函數(shù)矩陣的頻域表達式為

qij(jω)=gij(jω)cj(jω)=Aij?∠φij=kijKPj2+(KDjω?KIjω)21+Tij2ω2????????????????∠(arctgKDjω?KIjωKPj?arctg(Tijω)?τijω)$\begin{array}{c}{q}_{ij}\left(j\omega \right)=g_{ij}\left(j\omega \right)c_j\left(j\omega \right)=A_{ij}?\angle {\phi }_{ij}=\\ k_{ij}\sqrt[]{\frac{{K_{P_j}}^2+{\left(K_{D_j}\omega -\frac{K_{I_j}}{\omega }\right)}^2}{1+{T_{ij}}^2{\omega }^2}}?\angle \left(arctg\frac{K_{D_j}\omega -\frac{K_{I_j}}{\omega }}{K_{P_j}}-arctg\left(T_{ij}\omega \right)-{\tau }_{ij}\omega \right)\end{array}$(16)

文獻[34-35]指出，模型的開環(huán)頻率響應不需要在所有的頻段都很準確，只需在穿越頻率附近或控制器的工作頻帶范圍內(nèi)足夠準確，就可以滿足系統(tǒng)設計的要求。下面分析ω=0+→+∞$\omega =0^{+}\to +\infty$時， Q (s)對角元素qii (s)幅值和相角的變化情況：

當ω=0+$\omega =0^{+}$時，qii(jω)=∞?∠?π2$q_{ii}\left(j\omega \right)=\infty ?\angle -\frac{\pi }{2}$；

當ω$\omega$逐漸增大時，相角表達式∠φii=∠(arctgKDiω?KIiωKPi?arctg(Tiiω)?τiiω)$\angle {\phi }_{ii}=\angle \left(arctg\frac{K_{D_i}\omega -\frac{K_{I_i}}{\omega }}{K_{P_i}}-arctg\left(T_{ii}\omega \right)-{\tau }_{ii}\omega \right)$，可看作由兩個有界函數(shù)和一個一次函數(shù)組成，由于一次項?τω$-\tau \omega$的存在，隨著ω$\omega$的增大，其整體將呈下降趨勢；

當ω$\omega$逐漸增大時，幅值表達式Aii=kiiKPi2+(KDiω?KIiω)21+Tii2ω2??????????????$A_{ii}=k_{ii}\sqrt[]{\frac{{K_{P_i}}^2+{\left(K_{D_i}\omega -\frac{K_{I_i}}{\omega }\right)}^2}{1+{T_{ii}}^2{\omega }^2}}$，考慮實際工業(yè)過程中慣性系數(shù)T將遠大于控制器參數(shù)，因此隨著ω$\omega$的增大，幅值整體也將呈下降趨勢。所以，∠φ=?π$\angle \phi =-\pi$時Gershgorin圓的圓心qii (jω)將最接近(?1, j0)$(-1,j0)$點。由于反饋系數(shù)矩陣 F 一般為單位陣，因此qii (jω)與(?1, j0)$(-1,j0)$點的接近程度也是最值得關注的。

綜上所述，研究∠φ=?π$\angle \phi =-\pi$時的Gershgorin帶對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有重大意義。此時頻率為圓心qii (jω)的穿越頻率ωc。Gershgorin帶與實軸兩交點的左交點為Gershgorin帶邊界點。通過求解qii (jω)的穿越頻率ωc，代入式(16)，即可求出對角元素和非對角元素在qii (jω)穿越頻率的幅值。

Aij=kijKPj2+(KDjωc?KIjωc)21+Tij2ωc2???????????????$A_{ij}=k_{ij}\sqrt[]{\frac{{K_{P_j}}^2+{\left(K_{D_j}{\omega }_c-\frac{K_{I_j}}{{\omega }_c}\right)}^2}{1+{T_{ij}}^2{{\omega }_c}^2}}$(17)

當i=j$i=j$時，Aii 為與實軸相交的Gershgorin帶的圓心；當i≠j$i\ne j$時，∑Aij$\sum A_{ij}$為與實軸相交的Gershgorin帶圓的半徑。由此可得行Gershgorin圓邊界點和列Gershgorin圓邊界點。

行Gershgorin圓邊界點表達式

???????????????????????hi,0=?Aii+∑j=1i≠jnAij hi,?1=?Aii?∑j=1i≠jnAij(i=1, 2, 3,?, n)$\left(\begin{array}{c}{h}_{i,0}=-A_{ii}+\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ i\ne j\end{array}}^n{A}_{ij}\\ h_{i,-1}=-A_{ii}-\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ i\ne j\end{array}}^n{A}_{ij}\end{array}\right)\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(18)

列Gershgorin圓邊界點表達式

???????????????????????h'i,0=?Aii+∑j=1i≠jnAjih'i,?1=?Aii?∑j=1i≠jnAji(i=1, 2, 3, ?, n)$\left(\begin{array}{c}{h}_{i,0}^{\text{'}}=-A_{ii}+\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ i\ne j\end{array}}^n{A}_{ji}\\ h_{i,-1}^{\text{'}}=-A_{ii}-\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ i\ne j\end{array}}^n{A}_{ji}\end{array}\right)\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(19)

式中，hi,0、h'i,0$h_{i,0}、h_{i,0}^{\text{'}}$為接近原點的Gershgorin圓邊界點；hi,?1、h'i,?1為接近(?1, j0)$(-1,j0)$的Gershgorin圓邊界點。

根據(jù)Gershgorin圓邊界點，對角優(yōu)勢下的正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可以轉(zhuǎn)化為:

行對角優(yōu)勢

hi,?1>?1    and    hi,0<0(i=1, 2, 3,?, n)$h_{i,-1}>-1and{h}_{i,0}<0\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(20)

或列對角優(yōu)勢

h'i,?1>?1    and    h'i,0<0(i=1, 2, 3,?, n)$h_{i,-1}^{\text{'}}>-1and{h}_{i,0}^{\text{'}}<0\begin{array}{cc}& (i=1,2,3,?,n)\end{array}$(21)

3.2 控制器參數(shù)校正方法

當控制回路模式切換后，控制系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況時，由對角優(yōu)勢下正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，其原因為某行（列）Gershgorin圓邊界點hi,?1$h_{i,-1}$(或h'i,?1$h_{i,-1}^{\text{'}}$)在(?1, j0)$(-1,j0)$點左側(cè)，如圖7(a)所示。此時，需要通過校正相應控制器參數(shù)，使得所有行（列）Gershgorin圓邊界點hi,?1$h_{i,-1}$(或h'i,?1$h_{i,-1}^{\text{'}}$)在(?1, j0)$(-1,j0)$點右側(cè)，如圖7(b)所示。

圖7

圖7   校正前后Gershgorin圓情況

Fig.7   The situation of Gershgorin circle before and after correction

對于一個多回路分散PID控制系統(tǒng)，控制器為對角矩陣形式，其前向通道傳遞函數(shù)矩陣如下

Q(s)=G(s)C(s)=???????c1(s)g11(s)c1(s)g21(s)?c1(s)gn1(s)c2(s)g12(s)c2(s)g22(s)?c2(s)gn2(s)????cn(s)g1n(s)cn(s)g2n(s)?cn(s)gnn(s)???????$Q\left(s\right)=G\left(s\right)C\left(s\right)=\left(\begin{array}{cccc}{c}_1\left(s\right)g_{11}\left(s\right)& c_2\left(s\right)g_{12}\left(s\right)& ?& c_n\left(s\right)g_{1n}\left(s\right)\\ c_1\left(s\right)g_{21}\left(s\right)& c_2\left(s\right)g_{22}\left(s\right)& ?& c_n\left(s\right)g_{2n}\left(s\right)\\ ?& ?& ?& ?\\ c_1\left(s\right)g_{n1}\left(s\right)& c_2\left(s\right)g_{n2}\left(s\right)& ?& c_n\left(s\right)g_{nn}\left(s\right)\end{array}\right)$(22)

由式(22)和列Gershgorin圓邊界點定義可知，若調(diào)整第i個控制器ci(s)$c_i\left(s\right)$的參數(shù)，則第i列Gershgorin圓邊界點h'i,?1$h_{i,-1}^{\text{'}}$將發(fā)生變化；若第i個控制器ci(s)$c_i\left(s\right)$增益調(diào)整為原來的p倍，則第i列Gershgorin圓邊界點h'i,?1$h_{i,-1}^{\text{'}}$的值也將調(diào)整為原來的p倍；而對于行Gershgorin圓邊界點而言，若調(diào)整第i個控制器ci(s)$c_i\left(s\right)$的參數(shù)，則所有的行Gershgorin圓邊界點hi,?1$h_{i,-1}$都將發(fā)生變化，調(diào)整后的諸行Gershgorin圓邊界點hi,?1$h_{i,-1}$的值需由式(18)重新計算。因此，行Gershgorin圓邊界點的計算遠不如列Gershgorin圓邊界點的計算便利，故本文根據(jù)列Gershgorin圓邊界點的值來完成控制器參數(shù)的校正工作。

當控制回路模式切換時，若第i列Gershgorin圓邊界點h'i,?1$h_{i,-1}^{\text{'}}$不滿足對角優(yōu)勢下的正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，即h'i,?1<?1$h_{i,-1}^{\text{'}}<-1$，此時需將第i個控制器的增益縮小pi$p_i$倍，pi$p_i$的大小可由式(23)確定

pi=λi∣∣h'i,?1∣∣$p_i=\frac{{\lambda }_i}{\left(h_{i,-1}^{\text{'}}\right)}$(23)

式中，為確保Gershgorin圓邊界點與(?1, j0)$(-1,j0)$有一定距離，一般對pi$p_i$乘以裕量系數(shù)λi${\lambda }_i$(0.5≤λi≤0.95$0.5\le {\lambda }_i\le 0.95$)。

綜上所述，當控制回路模式切換時，對各控制回路控制器參數(shù)校正步驟如下。

(1) 現(xiàn)場工藝人員根據(jù)其操作經(jīng)驗給出所有輸入變量對所有輸出變量的模型參數(shù)k$k$、T$T$、τ$\tau$，分別將各回路投自動，而其他回路投手動，采用經(jīng)驗湊試法獲得各控制回路初始PID參數(shù)值。

(2) 根據(jù)被控過程和控制器初始參數(shù)，求qii (jω)的穿越頻率ωc，進而求校正前諸列Gershgorin圓的邊界點h'i${}_i^{\text{'}}$。其中穿越頻率ωc可采用牛頓迭代法解方程求解。

(3) 比較列Gershgorin圓的邊界點h'i,?1${}_{i,-1}^{\text{'}}$與(?1, j0)$(-1,j0)$點的大小，判斷系統(tǒng)整體穩(wěn)定情況，確定需調(diào)整的控制器ci (s)。

(4) 根據(jù)現(xiàn)場干擾大小及模型精度情況設定裕量系數(shù)λi${\lambda }_i$(0.5≤λi≤0.95$0.5\le {\lambda }_i\le 0.95$)，計算控制器增益調(diào)整系數(shù)pi。

(5) 校正后控制器為pi ci (s)。

上述控制器參數(shù)校正流程如圖8所示。

圖8

圖8   計算機輔助設計流程圖

Fig.8   Computer-aided flowchart

4 實例分析

選取Shell公司的典型重油分餾塔模型為仿真實例[36]，如圖9所示。該重油分餾塔由一個側(cè)線汽提塔、三個中段循環(huán)回流（頂部循環(huán)回流、中段循環(huán)回流、底部循環(huán)回流）和頂部冷回流組成，操縱變量包括頂部抽出流量u1、側(cè)線抽出流量u2和塔底循環(huán)回流換熱量u3，被控變量包括塔頂餾出物溫度y1、側(cè)線汽提塔餾出物溫度y2、塔底循環(huán)回流抽出溫度y3、塔頂溫度y4、塔頂循環(huán)回流抽出溫度y5、側(cè)線抽出溫度y6、中段循環(huán)回流抽出溫度y7。重油分餾塔是一個多變量、強耦合、大時延的被控過程，被公認為典型的比較難控制的對象，也是眾多學者用來驗證理論研究的仿真實例。

圖9

圖9   重油分餾塔流程圖

Fig.9   Flowchart of heavy oil fractionator

本實例中，操縱變量和被控變量組成3個PID控制回路，分別為：頂部抽出流量u1 (kmol?h-1)-塔頂餾出物溫度y1 (K)，側(cè)線抽出流量u2 (kmol?h-1)-側(cè)線汽提塔餾出物溫度y2 (K)，塔底循環(huán)回流換熱量u3 (kJ?h-1)-塔底循環(huán)回流抽出溫度y3 (K)，現(xiàn)場工藝人員憑借操作經(jīng)驗很容易獲取所有輸入變量對所有輸出變量的一階慣性純滯后模型，其傳遞函數(shù)矩陣為

G(s)=??????4.05e?27s50s+15.39e?18s50s+14.38e?20s33s+11.77e?28s60s+15.72e?14s60s+14.42e?22s44s+15.88e?27s50s+16.90e?15s40s+17.2019s+1??????$G\left(s\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{4.05e^{-27s}}{50s+1}& \frac{1.77e^{-28s}}{60s+1}& \frac{5.88e^{-27s}}{50s+1}\\ \frac{5.39e^{-18s}}{50s+1}& \frac{5.72e^{-14s}}{60s+1}& \frac{6.90e^{-15s}}{40s+1}\\ \frac{4.38e^{-20s}}{33s+1}& \frac{4.42e^{-22s}}{44s+1}& \frac{7.20}{19s+1}\end{array}\right)$(24)

當3個PID控制回路u1-y1、u2-y2、u3-y3分別進行控制時，首先只將本控制回路閉環(huán)投自動，其他控制回路開環(huán)手動，避免控制回路之間相互耦合的影響，然后通過經(jīng)驗湊試法整定獲得本控制回路初始PID參數(shù)?？刂破鞒跏紖?shù)分別為c1=(0.3, 0.01, 0.3)，即PID參數(shù)分別為：比例系數(shù)KP1=0.3，積分系數(shù)KI1=0.01，微分系數(shù)KD1=0.3，后文控制器參數(shù)寫法與之相同，c2=(0.5, 0.03, 0.3)，c3=(0.05, 0.004, 0.3)。各個控制回路在只對本回路閉環(huán)條件下在初始PID參數(shù)下是穩(wěn)定的。

假設系統(tǒng)的被控變量給定值為r1=1，r2=0，r3=2。然后按照u1-y1，u2-y2，u3-y3的順序?qū)?個PID控制回路依次由手動投入自動。通過仿真發(fā)現(xiàn)，如果不對各個PID控制回路的參數(shù)進行校正，整個系統(tǒng)將不能穩(wěn)定；如果通過本文所述方法來校正控制器c1、c2、 c3，可使閉合后的系統(tǒng)依然可以穩(wěn)定。

(1) 只將控制回路u1-y1閉合，控制器參數(shù)初始值設置為c1=(0.3, 0.01, 0.3)?？刂葡到y(tǒng)仿真曲線如圖10所示，可以看出，在僅有一個控制回路投入自動時，整個控制系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的。

圖10

圖10   控制回路u1-y1閉合時輸出曲線

Fig.10   Output curve when control loop u1-y1 is closed

(2) 控制回路u1-y1到達穩(wěn)定后，在t = 1000 min時將控制回路u2-y2閉合，控制器參數(shù)初始值設置為c1=(0.3, 0.01, 0.3), c2=(0.5, 0.03, 0.3)。此時列Gershgorin圓的邊界點為h'1,?1${}_{1,-1}^{\text{'}}$=-1.1780，h'2,?1${}_{2,-1}^{\text{'}}$=-0.8685，可確定需校正控制器為c1，設置裕量系數(shù)為λ1=0.8，則控制器增益校正系數(shù)p1 = 0.6791。校正前后控制器參數(shù)及Gershgorin圓邊界點數(shù)據(jù)見表1。校正前后控制系統(tǒng)的閉環(huán)仿真輸出曲線如圖11所示。

表1   控制回路u2-y2模式切換時控制器參數(shù)及Gershgorin圓邊界點校正前后數(shù)據(jù)

Table 1  Control loop u2-y2 mode switching controller parameters and Gershgorin circle before and after correction

圖11

圖11   控制回路u2-y2切換時校正前后輸出曲線

Fig.11   Output curve before and after correction when control loop u2-y2 is closed

(3) 控制回路u1-y1和u2-y2到達穩(wěn)定后，在t=3000 min時將控制回路u3-y3閉合，控制器參數(shù)初始值設置為c1=(0.2037, 0.0068, 0.2037), c2=(0.5, 0.03, 0.3), c3=(0.05, 0.004, 0.3)。此時列Gershgorin圓的邊界點為h'1,?1${}_{1,-1}^{\text{'}}$=-1.3206，h'2,?1${}_{2,-1}^{\text{'}}$=-1.5565，h'3,?1${}_{3,-1}^{\text{'}}$=-0.2579，可確定需校正控制器為c1和c2。設置裕量系數(shù)為λ1=0.8，λ2=0.8，則控制器增益校正系數(shù)p1=0.6058，p2=0.5140。校正前后控制器參數(shù)及Gershgorin圓的邊界點數(shù)據(jù)見表2。校正前后控制系統(tǒng)的閉環(huán)仿真輸出曲線如圖12所示。

圖12

圖12   控制回路u3-y3切換時校正前后輸出曲線

Fig.12   Output curve before and after correction when control loop u3-y3 is closed

表2   控制回路u3-y3模式切換時控制器參數(shù)及Gershgorin圓邊界點校正前后數(shù)據(jù)

Table 2  Control loop u3-y3 mode switching controller parameters and Gershgorin circle before and after correction

從圖11和圖12可以發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)有控制回路已閉環(huán)的情況下，將新的控制回路也投入自動，由于控制回路之間的耦合作用，等效被控對象發(fā)生變化，原有的控制器參數(shù)均不能與之適應，Gershgorin圓邊界點將在(?1, j0)$(-1,j0)$左側(cè)，會導致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；而在新的控制回路模式切換的瞬間對原有控制回路的增益進行校正，Gershgorin圓邊界點將調(diào)整至(?1, j0)$(-1,j0)$右側(cè)，閉環(huán)系統(tǒng)將恢復穩(wěn)定。

5 結論

本文基于對角優(yōu)勢下正Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，從整個系統(tǒng)的角度研究控制回路模式切換時的穩(wěn)定性。通過對一階慣性純滯后多變量系統(tǒng)的頻域分析，找到Gershgorin圓邊界點的位置。根據(jù)原有控制器參數(shù)下的列Gershgorin圓邊界點，確定需要校正的控制器，然后根據(jù)Gershgorin圓邊界點與穩(wěn)定性之間的關系確定控制器增益校正系數(shù)。最后通過Shell公司重油分餾塔的多回路PID控制系統(tǒng)的實例分析，驗證了該方法的可行性和有效性。

在實際工業(yè)現(xiàn)場，通過系統(tǒng)辨識獲得多變量系統(tǒng)的一階慣性純滯后模型較為容易，本文所述方法可輔助現(xiàn)場操作人員完成多變量系統(tǒng)常規(guī)PID控制回路的手動/自動切換，可以保證手動/自動模式切換時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于被控過程模型不精確和噪聲干擾問題，在實際應用時，可適當減小裕量系數(shù)，來保證控制回路的穩(wěn)定性，而當模型參數(shù)較為精確時，可適當增大裕量系數(shù)以獲得較好的控制性能。