尋找切入點(diǎn)突破障礙關(guān)

求解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確快速地找到解題的切入點(diǎn)，那么，如何尋找解題的切入點(diǎn)呢？筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)例談一些具體做法。 一、緊扣定義 理解定義、掌握定義、活用定義是解題的一把金鑰匙，也是尋找解題切入點(diǎn)的一條重要途徑。 例1.若點(diǎn)M（x，y）滿足（x+3）2+（y-1）2-（x-y+3）=0，則點(diǎn)M的軌跡是（） A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線 分析：可進(jìn)行化簡(jiǎn)，但表達(dá)式中會(huì)出現(xiàn)xy項(xiàng)，對(duì)曲線的形狀的判斷有點(diǎn)難度，可通過(guò)對(duì)原式的合理變形，利用圓錐曲線的定義來(lái)解決。 解：由（x+3）2+（y-1）2-（x-y+3）=0， 得（x+3）2+（y-1）2/（x-y+3）/2=2 此式可以看成是動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)（-3，1）與到定直線距離之比為的點(diǎn)的軌跡，根據(jù)圓錐曲線的定義，此軌跡為雙曲線，故選C。 二、深挖隱含 隱含條件是指隱而不顯，含而不露的已知條件，它們常常巧妙地隱藏在題目的背后，優(yōu)先考慮隱含條件往往能減少運(yùn)算量，簡(jiǎn)化或避免復(fù)雜的變化與討論，找到解題切入點(diǎn)，使問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲解。 例2．解方程組 （x+1）+（1-y）=4（1） （x+1）=3y-3（2） 分析：此題按常規(guī)方法，需要分四種情況，討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后解方程組。但我們觀察（2）式可以挖掘出一個(gè)隱含條件，利用這個(gè)隱含條件可以避免討論。 解：由（2）知，（1）式可以變形為（x+1）+（y-1）=4（3） 由（2），（3）解得（x+1）=3 ∴x1=2，x2=-4分別代入（2）得原方程組的解為 x1=2x2=-4 y1=2y2=2 三、轉(zhuǎn)譯語(yǔ)言 數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言及圖形語(yǔ)言三種基本樣式，及時(shí)將題目中讀不懂的部分，轉(zhuǎn)譯為新一種表述樣式，如將普通語(yǔ)言改譯為符號(hào)語(yǔ)言，或?qū)⒎?hào)語(yǔ)言改譯為圖形語(yǔ)言，常常可以幫助我們讀懂題意，找到解題切入點(diǎn)。 例3．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 分析：不少學(xué)生不理解A∪B＝A，造成思維障礙。 A∪B＝A轉(zhuǎn)譯為圖形語(yǔ)言，由文氏圖可得A∪B＝A→BA； 化簡(jiǎn)條件，易知A=[－2,5]是固定集合，B=[m+1，2m－1]是可變集合，由數(shù)軸可知將B分為B=φ或B≠φ兩類情況，即得m的取值范圍(－∞,3]. 注：忽視B＝φ的存在，是一個(gè)常見(jiàn)錯(cuò)誤。 四、數(shù)形結(jié)合 數(shù)形結(jié)合是尋找解題切入點(diǎn)的一條重要途徑，它是把已知或要求的式子與圖形結(jié)合起來(lái)。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來(lái)尋找解題思路，使問(wèn)題得到解決。 例4.設(shè)函數(shù)f(x)＝a+（-x2-4x），g(x)＝4/3x+1，已知x∈[－4,0]時(shí)，恒有f(x)≤g(x),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 分析：f(x)≤g(x)，即a+（-x2-4x）≤4/3x+1，直接將原不等式同解變換，很難求解。 轉(zhuǎn)換視角，觀察不等式結(jié)構(gòu)特征，數(shù)形結(jié)合，易知變形為不等式 （-x2-4x）≤4/3x+1-a后，可令y1=（-x2-4x）①y2=4/3x+1－a②, 由①得（x+2）2+y2=4（y≥0），表示以點(diǎn)(-2，0)為圓心，2為半徑的半圓；②式表示斜率為4/3，截距為1－a的平行直線系，顯然直線系中與半圓O’相切的直線AT（T為切點(diǎn)）即為所求臨界值。 如設(shè)直線AT的傾斜角為α，則tanα=4/3(0<α<π/2),sinα=4/5，在△BO’T中，|O’B|=|O’T|/sinα=5/2， ∴|OB|=9/2 在△AOB中，OA＝|OB|·tanα=9/2×4/3=6，要使f(x)≤g(x)恒成立，直線必須位于AT上方或與AT重合。 ∴1－a≥6，a≤－5. 五、逆向思維 逆向思維是較高層次的思維方式，當(dāng)順向思考遇到障礙，并經(jīng)過(guò)語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯，數(shù)形結(jié)合仍不奏效時(shí)，應(yīng)積極轉(zhuǎn)換視角，嘗試逆向思維。 例5．已知集合M={(x，y)|y2＝2x}，N={(x，y)|(x－a)2＋y2=9}，求M∩N≠的充要條件。 分析：易知M∩N≠φ的充要條件至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，且x≥0，即x2+2(1－a)x+a2－9=0至少有一個(gè)非負(fù)根。 由△≥0，得a≤5，此時(shí)若順向思維，則情形較繁，求解困難，若逆向思維，考慮至少有一個(gè)非負(fù)根的反面是兩個(gè)負(fù)根（只有一種情形）。 立知上述方程有兩個(gè)負(fù)根的充要條件應(yīng)為△≥0，且x1＋x2＜0，x1x2＞0，即－2(1－a)＜0，且a2－9＞0，解得a＜－3，從而知所求充要條件為－3≤a≤5。 六、展開(kāi)聯(lián)想 對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，從結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)出發(fā)，在尋求命題的條件和結(jié)論間的邏輯聯(lián)系時(shí)，由此及彼地聯(lián)想（聯(lián)想定義、定理或解決過(guò)的類似問(wèn)題等），常常能啟發(fā)思維，找到解題的切入點(diǎn)。 例6．函數(shù)f（x）=x2/1+x2，那么f（1）+f（2）+f（1/2）+f（1/3）+f（4）+f（1/4）=。 分析：由于設(shè)定的問(wèn)題較簡(jiǎn)單，可以直接分別求值，再求和。答案7/2。 如果待求的和式較復(fù)雜怎么辦？聯(lián)想數(shù)列的求和方法，不難發(fā)現(xiàn)該式隱藏的秘密所在：f（x）+f（1/x）=1。 七、把握轉(zhuǎn)化 化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法無(wú)處不在，它是分析、解決問(wèn)題的有效途徑，尋找解題切入點(diǎn)的常用方法。 例7．兩條異面直線稱為“一對(duì)”，則在正方體八個(gè)頂點(diǎn)間的所有連線中，成異面直線的共有多少對(duì)？ 分析：如果以其中一條棱進(jìn)行分類的話，很難搞清“重”和“漏”，然而我們對(duì)以下兩題很熟悉：以正方體的八個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐有多少？如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”的話，一個(gè)三棱錐中有多少對(duì)異面直線？故可把本題分解成兩個(gè)熟悉的問(wèn)題，即考慮一種對(duì)應(yīng)，由于①的答案是個(gè)；②的答案是3對(duì)，故本題答案為對(duì)。 注：若直接尋找異面直線的對(duì)數(shù)很繁且易漏，而引入三棱錐通過(guò)計(jì)算三棱錐的個(gè)數(shù)，使得三棱錐的個(gè)數(shù)與異面直線的對(duì)數(shù)建立了一個(gè)對(duì)應(yīng)，從而使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問(wèn)題。 總之，在數(shù)學(xué)解題中，只要我們認(rèn)真觀察，分析題中的“知”與“求”，準(zhǔn)確捕捉題目的各種信息，努力尋找解題的切入點(diǎn)，周密思考，廣泛聯(lián)想，避免誤入歧途，就能及時(shí)擺脫困境，快速形成準(zhǔn)確的解題思路。